Jiřího Čapku přivedl k divadlu jeho otec, který byl nadšený ochotník. Ke kumštu měla blízko i jeho matka. Ve šlépějích Jiřího Čapky se vydali i jeho synové Filip a Michal. Herci jsou i další příbuzní, například Filipova manželka Zuzana Čapková. Hercem je také Jiřího bratr Vladimír.
Po absolvování JAMU Jiří Čapka působil ve Východočeském divadle v Pardubicích (1971 až 1972), dále v Divadle Petra Bezruče (1973 až 1976) a ve Státním divadle v Ostravě (1976 až 1992). Roku 1992 se stal členem uměleckého souboru Divadla na Vinohradech, kde hrál mj. v představeních Brouk v hlavě, Zámek, Marie Stuartovna, Zkouška orchestru. Kromě toho hostoval také na dalších pražských scénách, např. v Divadle Metro (Sugar aneb Někdo to rád horké). Vystupoval i na Letních shakespearovských slavnostech na Pražském hradě (Veselé paničky windsorské).
Před kamerou se Jiří Čapka objevil krátce po studiích v televizním dramatu Stříbrná šestka (1971). Za svou hereckou kariéru dostal řadu rolí jak v televizních inscenacích (Děti mají zpívat, Čas plyne i v dešti, Falešné obvinění či Černá karta), tak v seriálech (Přátelé zeleného údolí, Velké sedlo s Pavlem Novým v hlavní roli, Kriminálka Anděl, Případy 1. oddělení, Četnické humoresky nebo v epizodě Veselý pohřeb v sérii Všechny moje lásky).
Jiří Čapka se ve velké míře věnuje dabingu. V 90. letech namluvil řadu vedlejších rolí ve slavných francouzských filmech, jeho hlasem k divákům promlouval také vrchní inspektor Japp v seriálu o detektivovi Herculu Poirotovi z dílny slavné autorky detektivek Agathy Christie. Později daboval americké filmy či seriály jako jsou Ztraceni, Chirurgové nebo Hvězdná brána. Práci s hlasem Jiří Čapka uplatňuje také v rozhlase.