Syn námořníka se vyučil mechanikem pletařských strojů. Po studiích na DAMU vykročil na scény divadel v Kolíně, Mostě, Olomouci nebo Příbrami. Na Vinohrady zavítal poprvé v roce 1967. Neminula ho dramata Oldřich a Božena, Faust, Krysař nebo Král Krysa. Ve svém Divadle Radka Brzobohatého se předvedl v Tančírně, Dvanácti rozhněvaných mužích i v hudební Kleci bláznů. Muzikál mu nabídl roli i do Anděla s ďáblem v těle či do Řeka Zorby.
Jedinečnou hereckou i osobnostní kvalitu dokazoval Radoslav Brzobohatý zejména ve filmu a v televizi. Jeho jméno zdobí komedie Všichni dobří rodáci, Dáma na kolejích, Pěnička a Paraplíčko i mrazivě neposlušné Sněženky a machři. Objevil se mimoto v seriálech F. L. Věk, Cirkus Humberto či Vyprávěj. Moudrost a tvrdohlavost stáří ztvárnil coby Prosinec v pohádce Dvanáct měsíčků. Se svou v pořadí druhou manželkou, herečkou Jiřinou Bohdalovou, exceloval kromě Ucha i ve svém posledním snímku Vrásky z lásky.
V roce 1988 získal Radoslav Brzobohatý titul zasloužilého umělce. O čtrnáct let později obdržel za celoživotní uměleckou práci Cenu Senior Prix. Obsadil i čestný post dvorany slávy ankety TýTý. Tvůrci krimi dramatu Ve stínu mu věnovali premiéru svého snímku, přestože si v něm nezahrál.
S první manželkou, herečkou Janou Kolářovou, měl dceru Radanu. Jiřinu Bohdalovou opustil Radoslav Brzobohatý v roce 1981. Zamiloval se tehdy do své třetí ženy Hany Gregorové, se kterou vychoval syna Ondřeje. Valašský patriot, vášnivý skaut a milovník Slovenska zemřel den před svými osmdesátými narozeninami 12. září 2012. Zpráva o jeho smrti zapříčiněné prasknutím výdutě aorty zasáhla jak jeho rodinu a kolegy, tak velkou část národa. Odešel totiž velký člověk, odešel znamenitý herec.