Po ukončení stavební průmyslovky v Bratislavě vystudoval Juraj Kukura herectví na VŠMU. Začínal v Divadle na korze, později působil v různých bratislavských divadlech, dokud ho v roce 1984 během natáčení seriálu Via Mala v zahraničí bezdůvodně neodsoudili za opuštění republiky a byl mu zabaven majetek.
Domů se vrátit nemohl, a tak začínal znovu v Německu. Dostal angažmá v mnichovském divadle Münchner Kammerspiele, později v Basileji, Bonnu a od roku 1985 v Schauspielhausu v Hamburku, kde dodnes přechodně žije. V Německu dodnes patří k oblíbeným divadelním a televizním hercům. Hrál v několika dílech seriálu Místo činu, v seriálech Via Mala, Hotel Raj a Helicops. Kromě divadla účinkoval od roku 1966 ve víc než 30 celovečerních filmech, 130 televizních filmech a 37 seriálech.
Ke slovenskému i českému filmu se vrátil až po roce 1989, kdy se mohl vrátit z Německa. Režisér Juraj Jakubisko mu nabídl zajímavou roli ve snímku Lepší je být bohatý a zdravý než chudý a nemocný (1992), dále si Juraj Kukura zahrál v detektivce Jak chutná smrt (1995) či v pohádce Král sokolů (2000).
Velkou hereckou příležitost zúročil ve Vláčilově dramatu Stíny horkého léta (1977) - tady ztvárnil horala Barana a jeho hereckými partnery byly například Jiří Bartoška či Marta Vančurová. V Čechách se Juraji Kukurovi daří.
Paradoxně dostává filmové nabídky jen odsud, v slovenské produkci nebývá vidět. Nechal se zlákat i nabídkou pracovat s režisérem Filipem Renčem na seriálech Krutá nevěra a Dokonalý svět. Film s názvem Zrozen bez porodu je první částí triptychu Vetřelci a lovci. Scénář napsal známý publicista Josef Klíma a s Jurajem Kukurou si tam zahrála i Simona Stašová, Jan Hrušínský nebo Jiří Dvořák.
Ve filmu a televizi se uplatnil především jako představitel mužných a drsných hrdinů a Kukura je také s oblibou hraje. „Negativní postavy mají výhodu v jakémsi tajemství - dokázat zahrát padoucha tak, že lidi přitahuje a mají ho dokonce rádi. Právě chyby totiž dělají člověka člověkem. Já říkám, že mé chyby jsou to nejcennější, co mám. Odlišují mě od ostatních.“
Kromě filmu pravidelně účinkuje i v Činoherním klubu, kde měla v roce 2011 premiéru hra Martina Čičváka Kukura - monolog o životě umělce v zahraničním a domácím divadelním prostředí. Za herecký výkon v této hře o sobě samém byl nominován na nejprestižnější divadelní ocení Thália. V roce 2002 se stal ředitelem bratislavského Divadla Aréna , kde založil a s úspechcem vede Dětskou akademii.
Přesto, že Juraj Kukura patří mezi jednoho z nejvíce sexy herců, jeho mnohaletý vztah s manželkou Táňou neprovázejí žádné skandály, právě naopak. Juraj Kukura dodnes považuje za nejdůležitější okamžik svého života setkání se svou manželkou a neváhá jí kdekoliv veřejně vyznat lásku.
Spolu mají dospělého syna Filipa, který je úspěšný vědec a žije v Anglii. Než se poznal s Táňou, žil Juraj Kukura sedm let se zpěvačkou a herečkou Zorou Kolínskou, první manželkou Milana Lasici. S Milanem Lasicou jej však nespojuje jen někdejší láska ke stejné ženě, ale i Emília Vášáryová, jeho dlouholetá dobrá kamarádka a Lasicova švagrová.