Na Pražskou konzervatoř Aleš Háma nastoupil v roce 1988, kde mimo jiné studoval s Jakubem Wehrenbergem, Adélou Gondíkovou nebo Terezou Pergnerovou. Již za studií nastoupil do angažma kladenského divadla. Po absolvování konzervatoře v roce 1994 odcestoval do USA, kde téměř dva roky pracoval v Palo Alto v San Franciscu.
Po návratu se Aleš Háma stal čelnem v té době vznikající hudební skupiny Hamleti, kterou tvořili jeho spolužáci z koncervatoře, např. Jakub Wehrenberg nebo Dalibor Gondík. Hamleti nemají v reperotáru žádnou vlastní skladbu, na svých vystoupeních hrají písně jiných českých a zahraničních skupin, např. Olympic, Lucie, Beatles, Kiss aj. Stejného roku spolu s Jakubem Wehrenbergem nastoupili do rádia Frekvence 1, kde spolu sedm let účinkovali v pořadech jako Peřiňák, Hodiny zpěvu a tance nebo Nedělní filmovka.
V roce 2000 si Aleš Háma zahrál ve svém prvním muzikálu, když ztvárnil Doodyho v Pomádě, poté se objevil například v představeních Rebelové, Tři mušketýři, Jak se lítá vzhůru. Spíše se ale živil jako moderátor, pracoval prakticky pro všechny české telvizní stanice. V češině i angličtině moderoval spoustu společenských akcí. Předvedl se také v zábavném soutěžním pořadu Taxík, kde se cestujícím kladl různé otázky, a když znali správné odpovědi, zaplatil on jim.
Přijal nabídku do třetí řady úspěšné pěvecké show TV Nova Tvoje tvář má známý hlas (NEJNOVĚJŠÍ INFO ZDE), kde se Aleš Háma střetl s Adélou Gondíkovou, Marthou Issovou, Tatianou Vilhelmovou, Markétou Konvičkovou, Milanem Peroutkou, Ondřejem Rumlem a Martinem Dejdarem.
Na svůj facebook v roce 2012 umístil video, kde zpívá písničku, v níž si utahuje z českých celebrit, např. z Ivety Bartošové či Agáty Hanychové.
S manželkou Gábinou má Aleš Háma dva syny.